Online-Leitfaden für Rechnervorführungen

Teil 1: Lineare Gleichungssysteme

Gleichungssysteme mit MATLAB

Mit MATLAB können lineare Gleichungssysteme der Form A * x = b auf recht einfache Art und Weise gelöst werden. Im Folgenden werden einige Rechenoperationen vorgestellt.

Matrix A wird in Zeilenform eingegeben:

>> A = [ 1 2 4; 2 13 23; 4 23 77 ]

A =

     1     2     4
     2    13    23
     4    23    77

Ebenso der Vektor b. Das Hochkomma transponiert den Zeilenvektor in einen Spaltenverktor.

>> b = [ 3 -4 5 ]'

b =

     3
    -4
     5
 

Eine Multiplikation von A * b wird im aktuellen Speicher ans ausgegeben.

>> A * b

ans =

    15
    69
   305
 

>> A \ b

ans =

    5.0432
   -1.5586
    0.2685
 

Die Inverse der Matrix A kann gebildet werden.

>> inv(A)

ans =

    1.4568   -0.1914   -0.0185
   -0.1914    0.1883   -0.0463
   -0.0185   -0.0463    0.0278
 

Der aus der Gleichung A * x = b gesuchte Vektor x kann mit x = inv(A) * b berechnet werden.

>> inv(A) * b

ans =

    5.0432
   -1.5586
    0.2685
 

Besser auls die Bildung der Inversen ist numerisch jedoch eine Zerlegung des Problems, zum Beispiel mit Hilfe des Cholseky-Verfahrens.

>> L = chol(A)'

L =

     1     0     0
     2     3     0
     4     5     6
 

>> [ L, U ] = lu(A)

L =

    0.2500    1.0000         0
    0.5000   -0.4000    1.0000
    1.0000         0         0
 

U =

    4.0000   23.0000   77.0000
         0   -3.7500  -15.2500
         0         0  -21.6000
 

Zur Kontrolle der Lösung wird L * U berechnet.

>> L * U

ans =

     1     2     4
     2    13    23
     4    23    77
 

Auch eine QR-Zerlegun ist mit MATLAB möglich.

>> [ Q, R ] = qr(A)

Q =

   -0.2182    0.9204   -0.3244
   -0.4364   -0.3894   -0.8111
   -0.8729   -0.0354    0.4867
 

R =

   -4.5826  -26.1861  -78.1220
         0   -4.0356   -8.0003
         0         0   17.5199
 

Auch hier wieder die Kontrolle.

>> Q * R

ans =

    1.0000    2.0000    4.0000
    2.0000   13.0000   23.0000
    4.0000   23.0000   77.0000
 

Die Pseudoinverse kann mit Hilfe des Befehls "pinv" berechnet werden.

>> pinv([ 1 2 4 7; 2 13 23 30; 4 23 77 100 ])

ans =

    0.4029   -0.0217   -0.0190
   -0.0615    0.1674   -0.0462
   -0.5280    0.0357    0.0276
    0.4046   -0.0651    0.0002
 

>> pinv([ 1 2 4; 2 13 23; 4 23 77; 8 33 140 ])

ans =

    0.7478    0.2730   -0.5897    0.2581
   -0.0321    0.0840    0.0820   -0.0580
   -0.0340   -0.0362    0.0153    0.0056

Hilfen zu jedem Befehl bietet MATLAB sowohl über eine Hilfefunktion (z.B. >> help inv) als auch über den MATLAB Helpdesk.


 
 
 

Teil 2: Lösen von Eigenwertaufgaben